proporties

Divina Proportia

De Gulden Snede

De gulden snede wordt aangeduid met het getal phi en geeft een verhouding aan in de kunst, natuur en wetenschap. Ze wordt ook wel de Divina proportia genoemd en betekent goddelijke verhouding.

Phi wordt geschreven als Φ en is bij benadering 1.618.

Oude Testament Exodus 25:10, Mozes bouwt de Ark des verbonds :

Zo zullen zij een Ark van sittimhout maken;

twee ellen en een halve zal haar lengte zijn;

en een anderhalve el haar breedte;

en een anderhalve el haar hoogte.

Waar ligt punt C op de lijn AB zodat geldt: AC/BC = AB/AC?

Stel dat de lengte van lijnstuk BC =1 en van AC = x. We weten dat AC/BC = AB/AC, dus invullen levert op:
x / 1 = x+1 / x.
Kruiselings vermenigvuldigen:
x2 = x + 1, oftewel x2 - x -1 = 0.

Deze eenvoudige kwadratische vergelijking is eenvoudig met behulp van de ABC-formule op te lossen.
Je zult zien dat x het getal 1,618 oplevert!

Hiermee hebben we met eenvoudige wiskunde het bewijs geleverd voor het bestaan van Φ.

Lijn AC is dus 1.618... keer zo lang als BC. En de lijn AB is 1.618... keer zo lang dan lijnstuk AC. Lijnstuk AC is 1.618 en wordt aangeduid met Phi.

V A S T L E G G E N G U L D E N S N E D E

teken lijn AB, teken D loodrecht op AB, zodat BD=AB/2.
teken een cikelboog met D als middelpunt vanuit B naar E op de lijn AD, teken nu een cirkelboog met A als middelpunt Vanuit E naar C op de lijn AD
teken een vierkant in het midden op AB, teken de driehoeken vanuit het raakpunt op de cirkel, deze driehoeken hebben dezelfde hoeken de verhouding van de zijden zijn a+b : a en b:a, het zijn gouden driehoeken met dezelfde proporties

< E U C L I D E S >< P A R T H E N O N >< P E N T A G R A M >< G O U D E N S P I R A A L >

F I B O N A C C I - R E E K S

In 1202 publiceerde Leonardo Fibonacci een bijzondere rij getallen: elk getal van de rij (behalve de eerste twee) is gelijk aan de som van de twee voorgaande getallen. Dat levert de volgende rij getallen op: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, etc.De Fibonacci-reeks zit vol met eigenaardigheden, zoals elke optelsom van tien opeenvolgende getallen uit de reeks is deelbaar door elf. Om de zestig cijfers herhaalt het laatste cijfer, bijvoorbeeld het tweede nummer is 1, het tweeënzestigste nummer in de reeks eindigt op een 1 (....4052739537881), het 122ste nummer in de reeks eindigt op een 1 (..14028366653498915298923761).

R E K E N K U N D I G E B A S I S
De Fibonacci-reeks vormt de rekenkundige basis voor de gulden snede. Als je een getal uit de Fibannacireeks deelt door zijn voorganger uit de reeks, dan benadert de breuk de waarde van Φ! Zo valt het wonderbaarlijke getal Phi niet alleen af te leiden uit de verhouding van lijnstukken, maar heeft het ook een rekenkundige basis.

Aan de hand van deze constructiemethode van de Gulden Snede zijn meer 'Gulden' vormen en verhoudingen te bepalen:
De Gulden Driehoek
De Gulden Rechthoek
De Gulden Vijfhoek
Het Gulden Pentagram